Objectifs :
Analysis of Boolean functions is the study of functions from the hypercube {0,1}^n to R. We will study functional inequalities for these functions, such as Poincaré and log-Sobolev inequalities. The study of such inequalities in a context where certain technicalities have disappeared ({0,1}^n is a finite set!) can help to forge intuitions in a more general context. These inequalities can be used to understand the geometry of subsets of the hypercube, which we will discuss briefly. We will then focus more specifically on the use of these inequalities to study phase transitions in percolation models. In particular, we will have Kesten's theorem in mind, that can be stated as follows: Fix a number p in [0,1], consider an n x n grid, and keep each edge of the grid independently with probability p (erase it otherwise). Let A_n be the event that, after the random deletions, there still is a left-right crossing of the grid. If p<1/2, then the probability of A_n goes to 0, while it goes to 1 if p>1/2.
This course will be at the interface between probability, functional analysis, theoretical computer science and statistical physics.

Programme :
Analysis of Boolean functions is the study of functions from the hypercube {0,1}^n to R. We will study functional inequalities for these functions, such as Poincaré and log-Sobolev inequalities. The study of such inequalities in a context where certain technicalities have disappeared ({0,1}^n is a finite set!) can help to forge intuitions in a more general context. These inequalities can be used to understand the geometry of subsets of the hypercube, which we will discuss briefly. We will then focus more specifically on the use of these inequalities to study phase transitions in percolation models. In particular, we will have Kesten's theorem in mind, that can be stated as follows: Fix a number p in [0,1], consider an n x n grid, and keep each edge of the grid independently with probability p (erase it otherwise). Let A_n be the event that, after the random deletions, there still is a left-right crossing of the grid. If p<1/2, then the probability of A_n goes to 0, while it goes to 1 if p>1/2.
This course will be at the interface between probability, functional analysis, theoretical computer science and statistical physics.

Equipe pédagogique :
Hugo Vanneuville

Méthode pédagogique :
4 séances d'1h30

Les Compétences et capacités visées à l'issue de la formation (fiches RNCP)

Arrêté du 22 février 2019 définissant les compétences des diplômés du doctorat et inscrivant le doctorat au répertoire national de la certification professionnelle. https://www.legifrance.gouv.fr/loda/id/JORFTEXT000038200990/

Bloc 1 : Conception et élaboration d’une démarche de recherche et développement, d’études et prospective

- Disposer d'une expertise scientifique tant générale que spécifique d'un domaine de recherche et de travail déterminé

- Faire le point sur l’état et les limites des savoirs au sein d’un secteur d’activité déterminé, aux échelles locale, nationale ou internationale

Bloc 4 : Veille scientifique et technologique à l’échelle internationale

- Acquérir, synthétiser et analyser les données et informations scientifiques et technologiques d’avant-garde à l’échelle internationale

- Disposer d’une compréhension, d’un recul et d’un regard critique sur l’ensemble des informations de pointe disponibles

- Dépasser les frontières des données et du savoir disponibles par croisement avec différents champs de la connaissance ou autres secteurs professionnels

- Disposer de la curiosité, de l’adaptabilité et de l’ouverture nécessaire pour se former et entretenir une culture générale de haut niveau

La formation participe à l'objectif suivant :conforter la culture scientifique des doctorants dans leur champ disciplinaire ou en interdisciplinaire